Qualitative Stability Patterns for Lotka-Volterra Systems on Rectangles

We present a qualitative analysis of the Lotka-Volterra differential equation within rectangles that are transverse with respect to the flow. In similar way to existing works on affine systems (and positively invariant rectangles), we consider here nonlinear Lotka-Volterra n-dimensional equation, in rectangles with any kind of tranverse patterns. We give necessary and sufficient conditions for the existence of symmetrically transverse rectangles (containing the positive equilibrium), giving notably the method to build such rectangles. We also analyse the stability of the equilibrium thanks to this transverse pattern. We finally propose an analysis of the dynamical behavior inside a rectangle containing the positive equilibrium, based on Lyapunov stability theory. More particularly, we make use of Lyapunov-like functions, built upon vector norms. This work is a first step towards a qualitative abstraction and simulation of Lotka-Volterra systems. Key-words: Dynamical systems, Lotka-Volterra equation, Transverse rectangle, Qualitative analysis, Vector norms Lyapunov functions. ∗ [email protected] † [email protected] Analyse qualitative des systèmes de Lotka-Volterra sur des rectangles Résumé : Ce travail pose les bases d’une étude qualitative des systèmes dynamiques de LotkaVolterra, fondée sur l’étude de rectangles transverses par rapport au flot. Comparativement à de précédentes études similaires, nous nous intéressons ici à des rectangles non nécessairement positivement invariants, et les résultats présentés ne se limitent pas au cas linéaire mais sont généralisés au cas non linéaire (de dimension n) de Lotka-Volterra. Nous donnons notamment des conditions nécessaires et suffisantes pour l’existence de rectangles symétriquement transverses (qui donc contiennent l’équilibre positif) en proposant une méthode pour les construire. Ces conditions nous permettent en outre de déduire du patron de ces rectangles le type de stabilité de l’équilibre. Nous proposons enfin une analyse de la dynamique du système à l’intérieur de ces rectangles, en utilisant la théorie générale de stabilité de Lyapunov. Les fonctions de type Lyapunov que nous construisons ici utilisent des normes vectorielles. Ce travail doit être vu comme une première étape vers une analyse qualitative de la dynamique de l’équation non linéaire de Lotka-Volterra. Mots-clés : Systèmes dynamiques, Equation de Lotka-Volterra, Rectangle transverse au flot, Analyse qualitative, Fonctions de Lyapunov basées sur des normes vectorielles. Qualitative stability patterns for Lotka-Volterra systems on rectangles 3